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Arco Iris 1

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Fractais - Cronologia

Introdução:

Tanto o conjunto de Cantor, como as curvas de Peano e von Koch e os conjuntos de Julia, se inserem hoje, numa classe mais ampla de objetos denominados fractais. Este termo foi utilizado em 1975 por Benoit Mandelbrot (1924-2010) para descrever objetos matemáticos fragmentados e irregulares, cuja estrutura se repete a diferentes escalas. O termo fractal foi tirado do adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Do ponto de vista matemático podem ser objetos infinitos, em que escalas cada vez mais pequenas repetem a geometria da escala maior.

300a.C.

Euclides (330–260a.C.) é reconhecido como o matemático mais importante da Grécia clássica. Dele unicamente se sabe que ensinou e fundou uma escola em Alexandria, por volta do ano 300 a.C. e os seus trabalhos matemáticos chegaram-nos quase completos, porque foram inicialmente traduzidos para árabe, depois para latim e a partir destes dois idiomas foram traduzidos para outras línguas europeias. Geometria euclidiana: Também conhecida como geometria clássica ou elementar. Principalmente compreende pontos, linhas, círculos, polígonos, poliedros e seções cônicas. Baseia-se nas definições e axiomas descritos por Euclides (330-275a.C.) em seu tratado "Elementos", um compendio de todo o conhecimento sobre geometria de seu tempo.

250a.C.

A geometria sólida compreende, principalmente, esferas, cilindros e cones e foi desenvolvida depois por Arquimedes (287-212a.C.) vários anos mais tarde. As seções cônicas foram o tema dos estudos de Apolônio durante o mesmo tempo (260-200a.C.).

Fractal Arquimedes

Arquimedes

150a.C.

Trigonometria: A geometria dos triângulos. Hiparco de Niceia (190-125a.C.) foi creditado com a invenção deste ramo da geometria, como método para resolver distâncias astronômicas. Pode ser dividido em trigonometria plana, para triângulos em um plano, trigonometria esférica e para triângulos na superfície de uma esfera.

Fractal Hiparco de Nicéia

Hiparco de Niceia

140

Geometria de projeção: Trata das propriedades de figuras planas que não mudam quando um grupo específico de pontos é projetado em um plano. Começou a ser usada nos séculos XV e XVI como aplicação para a arquitetura pelo professor italiano Leone Alberti (1404-1472) e o matemático francês Girard Desargues (1591-1661), embora às vezes é associada (junto com a geometria descritiva) a Ptolomeo de Alexandria (100-170).

Fractal Leoni Alberti

Leoni Alberti

Fractal Girard Desargues

Girard Desargues

1500

Dürer (1471-1528) desenvolve construções de polígonos regulares, gera fractais que leva seu nome.

Fractal Albert Dürer

Albert Dürer

1500

Antes de Pascal (1623-1662), já Tartaglia (1499-1557) usara o triângulo aritmético e, muito antes, também os matemáticos Árabes (séc. XIII) e Chineses (séc. XIV) o utilizavam.

Fractal Nicolau Fontana Tartáglia

Nicolau Fontana Tartaglia

1580

Análise vetorial (de vetores): estuda as quantidades que possuem magnitude e direção. Conhecida desde o tempo de Aristóteles (384-322aC) e mais ainda por Simon Stevin (1548-1620) em 1580. A teoria moderna data de princípios do século de XIX.

Fractal Aristóteles

Aristóteles

Fractal Simón Stevin

Simon Stevin

1600

Geometria analítica: Criada por René Descartes (1596-1650), trata de problemas geométricos baseados em um sistema de coordenadas e sua transformação em problemas algébricos. Se subdivide em geometria analítica plana, para equações com duas variáveis, e geometria analítica sólida, para equações com três variáveis.

Fractal René Descartes

René Descartes

1600

Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564-1642) na antiga astronomia iniciam o estudo dos comportamentos e regularidades presentes na natureza, através da investigação do movimento.

Fractal Johannes Kepler

Johannes Kepler

Fractal Galileu Galilei

Galileu Galilei

1654

Pascal (1623-1662) estudou e demonstrou, no "Tratado do Triângulo Aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo que ficou conhecido com o seu nome e aplicou-as também no estudo das Probabilidades.

Fractal Pascal

Pascal

1700

Geometría diferencial: Seguindo os descobrimentos de Descartes e apoiado nos estudos de regularidades de movimentos e fenômenos naturais Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criaram o Cálculo Diferencial e Integral, com base na ideia de infinitésimo e de limite, descrevendo e formalizando em teoremas leis do mundo físico e natural, tornando a natureza de maneira espantosamente compreensível.

Fractal Isaac Newton

Isaac Newton

Fractal Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz

1800

Geometria hiperbólica (não euclidiana): Acreditada independentemente a Nicolai Lobachevski (1792-1856) e János Bólyai (1802-1860). Recusa o postulado do paralelo da geometria euclidiana, e estabelece que "Por um ponto dado fora de uma linha reta dada passa mais de uma linha que não intersecta à linha dada."

Fractal Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Fractal Janos Bolyai

Janos Bolyai

1850

Geometria elíptica: Também recusa o postulado do paralelo e estabelece que "não há linhas paralelas, e se estenderem-se suficientemente distante, duas linhas retas quaisquer em um plano se encontrarão." Sua invenção tem sido atribuída a Bernhard Riemann (1820-1866).

Fractal Bernhard Riemann

Bernhard Riemann

1870

Nasce Fabian Helge Von Koch no dia 15 de janeiro de 1870 em Estocolmo. Estudou na Universidade de Estocolmo e publicou diversos livros sobre Sistemas Lineares e Equações diferenciais.

Fractal Helge von Koch

Helge von Koch

1872

Em 1872 Karl Weierstrass (1815-1897) exibe a primeira função contínua, que não admite derivada em nenhum dos seus pontos.

Fractal Karl Weierstrass

Karl Weierstrass

1882

Uma década mais tarde, em 1882/1883, o matemático alemão Georg Cantor (1845-1918) utiliza um método análogo para construir um subconjunto infinito de pontos no intervalo unitário [0,1], obtendo o hoje conhecido "Conjunto de Cantor". Também denominado "Poeira de Cantor", esta construção numérica nos proporciona um subconjunto fechado de números reais.

Fractal Georg Cantor

Georg Cantor


conjunto-de-cantor

Conjunto de Cantor

1882

Em 14 de março de 1882 nasce em Varsóvia o matemático Waclaw Sierpinski.

Fractal Waclau Sierpinski

Waclau Sierpinski

1890

Em 1890, Giuseppe Peano (1858-1932) publicou um artigo intitulado "Sur une courbe qui remplit to une aire plane", que foi o prelúdio da "Curva Peano", anunciada em 1891, designação aplicada a uma família de curvas com a característica de preencher na totalidade uma região do plano.

Fractal Giuseppe Peano

Giuseppe Peano


curva-de-peano - 1

Curva de Peano - passo1


curva-de-peano - 2

Curva de Peano - passo2


curva-de-peano - 3

Curva de Peano - passo3

1891

Em 1891/1892, David Hilbert (1862-1943) fez uma variação na curva conhecida como "Curva de Hilbert", também com a propriedade de "encher" o plano sem intersecção.

Fractal David Hilbert

David Hilbert


curva-de-hilbert - 1

Curva de Hilbert - 1


curva-de-hilbert - 2

Curva de Hilbert - 2


curva-de-hilbert - 3

Curva de Hilbert - 3


curva-de-hilbert - 4

Curva de Hilbert - 4


curva-de-hilbert - 5

Curva de Hilbert - 5


curva-de-hilbert - 6

Curva de Hilbert - 6


curva-de-hilbert - 7

Curva de Hilbert - 7

1893

Nasce o matemático Gaston Maurice Julia em 3 de fevereiro de 1893 em Sidi Bel Abbès, Algeria. Gaston é um dos pais da Teoria moderna de Sistemas Dinâmicos, lembrado pelo que hoje é chamado de "Conjunto de Julia" ou "Set de Julia".

Fractal Gaston Maurice Julia

Gaston Maurice Julia

1900

Topologia: Também procedente do século XIX, começou com o astrônomo belga Augustus Möbius (1790-1868) e outros matemáticos, entre os quais David Hilbert (1862-1943), Oswald Veblen (1880-1966) e Henry Whitehead (1904-1960). Trata das propriedades que não se alteram por deformações continuas tais como"flexão", "alongamento" e "torção."

Fractal Augustus Möbius

Augustus Möbius

Fractal Oswald Veblen

Oswald Veblen

Fractal Henry Whitehead

Henry Whitehead

1900

Outro dos mais conhecidos casos patológicos é conhecido como Curva de Peano (designação genérica aplicada a toda uma família de curvas concebidas entre 1890 e 1925), que preenche na totalidade uma região do plano.

1900

No início do século XX o matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski ou Fractal de Sierpinski, que se obtém como limite de um processo iterativo.


triangulo-de-sierpinski - 1

Triângulo de Sierpinski 1


triangulo-de-sierpinski - 2

Triângulo de Sierpinski 2


triangulo-de-sierpinski - 3

Triângulo de Sierpinski 3


triangulo-de-sierpinski - 4

Triângulo de Sierpinski 4


triangulo-de-sierpinski - 5

Triângulo de Sierpinski 5


tapete-de-sierpinski - 1

Tapete de Sierpinski 1


tapete-de-sierpinski - 2

Tapete de Sierpinski 2


tapete-de-sierpinski - 3

Tapete de Sierpinski 3


tapete-de-sierpinski - 4

Tapete de Sierpinski 4

1900

Poincaré (1854-1912), que foi provavelmente o primeiro a compreender e expor a noção de Caos, bem como um sem número de outros Homens da Ciência que estabeleceram os princípios que estariam na base da descoberta dos fractais.

Fractal Henri Poincare

Henri Poincaré

1900

Trabalhos sobre previsão meteorológica e turbulência de Lewis Richardson (1881-1953) aproximam-se surpreendentemente do conceito de Geometria Fractal.

Fractal Lewis Richardson

Lewis Richardson

1904

Em 1904, Helge von Koch (1870-1924) exibe uma curva que oculta uma propriedade surpreendente: O perímetro infinito delimita uma área finita. Chama-se "A curva ou o copo de neve de Koch". Este fractal data de 1904, quando foi criado por Helge Von Koch. É gerado por uma sucessão infinita de adições de segmentos de uma reta a um segmento inicial, o qual faz com que ao final, diferente do conjunto de Cantor, obtenhamos uma curva.



curva-de-koch - 1

Curva de Koch - 1



curva-de-koch - 2

Curva de Koch - 2



curva-de-koch - 3

Curva de Koch - 3



curva-de-koch - 4

Curva de Koch - 4



curva-de-koch - 5

Curva de Koch - 5



curva-de-koch - 6

Curva de Koch - 6

1911

Fabian Helge Von Koch inicia sua carreira de professor na Universidade de Estocolmo.

1918

Em 1918, Gaston Julia e Pierre Fatou (1878-1929) apresentaram um trabalho ("Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles") com 199 páginas sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como conjuntos de Julia.

Fractal Pierre Fatou

Pierre Fatou


conjunto-julia

Conjunto de Julia

1918

Como precedente à dimensão fractal nos encontramos com a dimensão definida por Félix Hausdorff em 1918/1919, aperfeiçoada mais tarde por Besicovitch. A dimensão Hausdorff (1868-1942) H(X) de um objeto fractal X mede o número de conjuntos de longitude L que faltam para cobrir X por L.

Fractal Félix Hausdorff

Félix Hausdorff

1921

Karl Menger (1902-1985) apresenta a "Esponja de Menger" ao explorar conceitos de dimensão topológica.

Fractal Karl Menger

Karl Menger


esponja-de-menger - 1

Esponja de Menger - 1


esponja-de-menger - 2

Esponja de Menger - 2

1924

Fabian Helge Von Koch morre em 11 de março de 1924 na cidade onde nasceu. Benoit Mandelbrot nasce em Varsóvia, em 20 de novembro de 1924, numa família de judeus lituanos; o pai era vendedor de roupas e a mãe dentista.


Fractal Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot


conjunto-maldelbrot

Conjunto Mandelbrot

1936

Em 1936 a família de Benoit Mandelbrot mudou-se para Paris onde seu tio Szolem Mandelbrot, que era professor de matemática no Collège de France e sucessor de Hadamardost neste cargo, toma a responsabilidade de sua educação.

1938

Paul Pierre Levy (1886-1971) descreve sobre a propriedade de auto similaridade de algumas curvas, denominada "Curva de Levy".

1952

Em 1952, Mandelbrot obteve o seu doutoramento na Universidade de Paris. A sua tese de doutoramento agregou idéias de termodinâmica, da cibernética de Norbert Wiener (1894-1964) e da "Teoria dos Jogos" de John von Neumann (1903-1957). Mais tarde Mandelbrot disse que a tese estava pobremente escrita e mal organizada, mas que refletia o seu esforço continuado para juntar os novos caminhos do mundo matemático e da física.

Fractal Norbert Wiener

Norbert Wiener

Fractal John von Neumann

John von Neumann

1953

Entre 1953 e 1954, Mandelbrot, como muitos dos "refugiados matemáticos", foi para o Instituto de Estudos Avançados em Princeton, onde continuou a explorar campos muito diferentes da Matemática.

1955

Em 1955, voltou para França e casou com Aliete Kagan. O trabalho que agregaria todos os interesses de Mandelbrot começou em 1958 quando ele aceitou uma posição no Departamento de Investigação da "International Business Machines" (IBM).

1960

Na década de sessenta Oleksandr Sharkovsky (1936-), verificou com a ajuda do computador, que iterando funções simples, como funções quadráticas por exemplo, se obtinham objetos com propriedades insólitas e ordens muito estranhas, tal como as formas idealizadas antes por Cantor, Peano, von Koch e Julia. Assim, o desenvolvimento das tecnologias da informação e do computador incentivaram a análise e discussão destes objetos, já que tornaram possível a reprodução com maior detalhe do comportamento de funções iterativas.

Fractal Oleksandr Sharkovsky

Oleksandr Sharkovsky

1963

Um grande avanço ocorreu em 1963 com Edward Lorenz (1917-2008), que através de um cálculo numérico, definiu o conceito de "Atrator Estranho". Em 1971, David Ruelle (1935-) e Floris Takens (1940-2010) desenvolveram um formalismo matemático rigoroso para os atratores estranhos. O conceito de atrator estranho permitiu uma melhor compreensão dos comportamentos irregulares, tipo turbulentos ou caóticos, descritos por equações determinísticas. Iniciou-se, assim, o estudo do que chamamos hoje de "Caos Determinístico". Desde então, uma nova ciência (física) se desenvolveu, a qual é chamada de não-linear, ou turbulenta, ou caótica.

Fractal Edward Lorenz

Edward Lorenz

Fractal David Ruelle

David Ruelle

1967

Mandelbrot publica seu artigo sobre a topologia da costa da Grã-Bretanha iniciando um novo capítulo sobre a Geometria Fractal.

1969

Em 21 de outubro de 1969 falece Waclaw Sierpinski.

1970

Na década de 70, James Yorke (1941-) viria a encontrar nos trabalhos de Lorenz a chave para os problemas sobre os quais se debruçava, dando ao Caos o seu nome e juntamente com outros, como May ou Hoppensteadt, divulgaria esta nova Ciência acabada de criar.

Fractal James Yorke

James Yorke

1978

Falece em 19 de março de 1978 em Paris, França, Gaston Maurice Julia.

1979

Em 1979, Mandelbrot descobriu que podia criar uma imagem num plano complexo que poderia servir como um catálogo dos conjuntos de Julia, um guia para qualquer um deles.

1985

Em 1985 Mandelbrot foi reconhecido com o premio "Barnard Medal for Meritorious Service to Science". E nos anos seguintes recebe a "Franklin Medal".

1987

Em 1987 foi reconhecido com o prêmio "Alexander von Humboldt"; também recebeu a "Medalha Steindal"

1988

Em 1988 muitos outros prêmios, incluindo a "Medalha Nevada" em 1991.

1988

São muitas as definições de Fractal. Segundo Jens Feder (1939-2019), "um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos".

1993

Uma das áreas em que o computador tem sido muito utilizado é a teoria de números, domínio que estuda as propriedades do conjunto dos números inteiros. Nesta área da Matemática merecem particular atenção, por exemplo, as propriedades de números primos, de classes de congruência, as soluções inteiras de equações de coeficientes inteiros, etc. A teoria de números é um dos domínios considerados mais difíceis da Matemática, sendo um dos seus teoremas mais conhecidos a célebre afirmação enunciada mas não demonstrada por Fermat: "Não existe um termo de números naturais (x, y, z) que verifique a equação xn + yn = zn, para n > 2". Em 23 de Junho de 1993 foi anunciada uma demonstração para este teorema pelo matemático inglês Andrew Wiles. Verificou-se que esta demonstração continha alguns erros, mas, depois de corrigida, ela é hoje, em 1996, considerada correta pela generalidade dos matemáticos.

2010

Benoit Mandelbrot morre em 14 de outubro de 2010, em Cambridge, Massachusetts, Estados Unidos.


REFERÊNCIAS (de fragmentos encontrados na internet):

01 - Natureza – Caos ou Ordem? - Fundamentos e Ensino da Álgebra-2004-2005 - UNIVERSIDADE DE COIMBRA - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Departamento de Matemática - Ana Batanete, Andreia Castro e Hirllany Lago.

02 - Fractales Y Solución en Algunos Problemas de Matematicas Empleado en Cabri Geometre - Universidad del Tolima - Facultad de Educacion - Lic. Matematicas - 2005 - Edgar Alexander Rodriguez Guzman, Julio Cesar Gomez Herrera e Robinson Alfonso Cardona.

03 - Geometria Fractal e Atividades para o Ensino de Matemática: Degraus Fractais e Esponja de Menger - Universidade Federal da Bahia - UFBA - Instituto de Matemática e Estatística – IME - Setembro de 2020 - Marcus Vinícius Oliveira Lopes da Silva - Dissertação de Mestrado.

04 - Geometria Fractal: Uma Sequência Didática para a Educação Básica - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia - Valença - BA 2019 - Maria do Amparo Cruz da Conceição - Monografia.

05 - Estudo e Aplicações da Geometria Fractal - Universidade Federal da Paraíba - João Pessoa - PB - Abril/2013 - Yara Sílvia Freire Rabay.

06 - Os Fractais e Aplicações em Sala de Aula - UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu - Patrícia Sândalo Pereira, Renata Camacho Bezerra, Paloma Rhayka Rosa e Katiani Pereira da Conceição.

07 - Universidade Estadual de Londrina - Departamento de Matemática – CCE - Notas de Aula da Disciplina Especial - Sistemas Dinâmicos e o Caos Determinístico - Prof. Paulo Laerte Natti.

08 - Capítulo 3 do livro Ponte, J. P., & Canavarro, P. (1997). Matemática e novas tecnologias. Lisboa: Universidade Aberta.

09 - Geometria Fractal - Fundamentos e Ensino da Álgebra - 2002-2003 - UNIVERSIDADE DE COIMBRA - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Departamento de Matemática - Autoria: NN.


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