Tanto o conjunto de Cantor, como as curvas de Peano e von Koch e os conjuntos de Julia, se inserem hoje, numa classe mais ampla de objetos denominados fractais. Este termo foi utilizado em 1975 por Benoit Mandelbrot (1924-2010) para descrever objetos matemáticos fragmentados e irregulares, cuja estrutura se repete a diferentes escalas. O termo fractal foi tirado do adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Do ponto de vista matemático podem ser objetos infinitos, em que escalas cada vez mais pequenas repetem a geometria da escala maior.
300a.C.
Euclides (330–260a.C.) é reconhecido como o matemático mais importante da Grécia clássica. Dele unicamente se sabe que ensinou e fundou uma escola em Alexandria, por volta do ano 300 a.C. e os seus trabalhos matemáticos chegaram-nos quase completos, porque foram inicialmente traduzidos para árabe, depois para latim e a partir destes dois idiomas foram traduzidos para outras línguas europeias. Geometria euclidiana: Também conhecida como geometria clássica ou elementar. Principalmente compreende pontos, linhas, círculos, polígonos, poliedros e seções cônicas. Baseia-se nas definições e axiomas descritos por Euclides (330-275a.C.) em seu tratado "Elementos", um compendio de todo o conhecimento sobre geometria de seu tempo.
250a.C.
A geometria sólida compreende, principalmente, esferas, cilindros e cones e foi desenvolvida depois por Arquimedes (287-212a.C.) vários anos mais tarde. As seções cônicas foram o tema dos estudos de Apolônio durante o mesmo tempo (260-200a.C.).
Arquimedes
150a.C.
Trigonometria: A geometria dos triângulos. Hiparco de Niceia (190-125a.C.) foi creditado com a invenção deste ramo da geometria, como método para resolver distâncias astronômicas. Pode ser dividido em trigonometria plana, para triângulos em um plano, trigonometria esférica e para triângulos na superfície de uma esfera.
Hiparco de Niceia
100 - 170
Cláudio Ptolomeo
140
Geometria de projeção: Trata das propriedades de figuras planas que não mudam quando um grupo específico de pontos é projetado em um plano. Começou a ser usada nos séculos XV e XVI como aplicação para a arquitetura pelo professor italiano Leone Alberti (1404-1472) e o matemático francês Girard Desargues (1591-1661), embora às vezes é associada (junto com a geometria descritiva) a Ptolomeo de Alexandria (100-170).
Leoni Alberti
Girard Desargues
1500
Dürer (1471-1528) desenvolve construções de polígonos regulares, gera fractais que leva seu nome.
Albert Dürer
1500
Antes de Pascal (1623-1662), já Tartaglia (1499-1557) usara o triângulo aritmético e, muito antes, também os matemáticos Árabes (séc. XIII) e Chineses (séc. XIV) o utilizavam.
Nicolau Fontana Tartaglia
1580
Análise vetorial (de vetores): estuda as quantidades que possuem magnitude e direção. Conhecida desde o tempo de Aristóteles (384-322aC) e mais ainda por Simon Stevin (1548-1620) em 1580. A teoria moderna data de princípios do século de XIX.
Aristóteles
Simon Stevin
1600
Geometria analítica: Criada por René Descartes (1596-1650), trata de problemas geométricos baseados em um sistema de coordenadas e sua transformação em problemas algébricos. Se subdivide em geometria analítica plana, para equações com duas variáveis, e geometria analítica sólida, para equações com três variáveis.
René Descartes
1600
Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564-1642) na antiga astronomia iniciam o estudo dos comportamentos e regularidades presentes na natureza, através da investigação do movimento.
Johannes Kepler
Galileu Galilei
1654
Pascal (1623-1662) estudou e demonstrou, no "Tratado do Triângulo Aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo que ficou conhecido com o seu nome e aplicou-as também no estudo das Probabilidades.
Pascal
1700
Geometría diferencial: Seguindo os descobrimentos de Descartes e apoiado nos estudos de regularidades de movimentos e fenômenos naturais Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criaram o Cálculo Diferencial e Integral, com base na ideia de infinitésimo e de limite, descrevendo e formalizando em teoremas leis do mundo físico e natural, tornando a natureza de maneira espantosamente compreensível.
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz
1800
Geometria hiperbólica (não euclidiana): Acreditada independentemente a Nicolai Lobachevski (1792-1856) e János Bólyai (1802-1860). Recusa o postulado do paralelo da geometria euclidiana, e estabelece que "Por um ponto dado fora de uma linha reta dada passa mais de uma linha que não intersecta à linha dada."
Nikolai Ivanovich Lobachevsky
Janos Bolyai
1850
Geometria elíptica: Também recusa o postulado do paralelo e estabelece que "não há linhas paralelas, e se estenderem-se suficientemente distante, duas linhas retas quaisquer em um plano se encontrarão." Sua invenção tem sido atribuída a Bernhard Riemann (1820-1866).
Bernhard Riemann
1870
Nasce Fabian Helge Von Koch no dia 15 de janeiro de 1870 em Estocolmo. Estudou na Universidade de Estocolmo e publicou diversos livros sobre Sistemas Lineares e Equações diferenciais.
Helge von Koch
1872
Em 1872 Karl Weierstrass (1815-1897) exibe a primeira função contínua, que não admite derivada em nenhum dos seus pontos.
Karl Weierstrass
1882
Uma década mais tarde, em 1882/1883, o matemático alemão Georg Cantor (1845-1918) utiliza um método análogo para construir um subconjunto infinito de pontos no intervalo unitário [0,1], obtendo o hoje conhecido "Conjunto de Cantor". Também denominado "Poeira de Cantor", esta construção numérica nos proporciona um subconjunto fechado de números reais.
Georg Cantor
Conjunto de Cantor
1882
Em 14 de março de 1882 nasce em Varsóvia o matemático Waclaw Sierpinski.
Waclau Sierpinski
1890
Em 1890, Giuseppe Peano (1858-1932) publicou um artigo intitulado "Sur une courbe qui remplit to une aire plane", que foi o prelúdio da "Curva Peano", anunciada em 1891, designação aplicada a uma família de curvas com a característica de preencher na totalidade uma região do plano.
Giuseppe Peano
Curva de Peano - 1
Curva de Peano - 2
Curva de Peano - 3
1891
Em 1891/1892, David Hilbert (1862-1943) fez uma variação na curva conhecida como "Curva de Hilbert", também com a propriedade de "encher" o plano sem intersecção.
David Hilbert
Curva de Hilbert - 1
Curva de Hilbert - 2
Curva de Hilbert - 3
Curva de Hilbert - 4
Curva de Hilbert - 5
Curva de Hilbert - 6
Curva de Hilbert - 7
1893
Nasce o matemático Gaston Maurice Julia em 3 de fevereiro de 1893 em Sidi Bel Abbès, Algeria. Gaston é um dos pais da Teoria moderna de Sistemas Dinâmicos, lembrado pelo que hoje é chamado de "Conjunto de Julia" ou "Set de Julia".
Gaston Maurice Julia
1900
Topologia: Também procedente do século XIX, começou com o astrônomo belga Augustus Möbius (1790-1868) e outros matemáticos, entre os quais David Hilbert (1862-1943), Oswald Veblen (1880-1966) e Henry Whitehead (1904-1960). Trata das propriedades que não se alteram por deformações continuas tais como"flexão", "alongamento" e "torção."
Augustus Möbius
Oswald Veblen
Henry Whitehead
1900
Outro dos mais conhecidos casos patológicos é conhecido como Curva de Peano (designação genérica aplicada a toda uma família de curvas concebidas entre 1890 e 1925), que preenche na totalidade uma região do plano.
1900
No início do século XX o matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski ou Fractal de Sierpinski, que se obtém como limite de um processo iterativo.
Triângulo de Sierpinski - 1
Triângulo de Sierpinski - 2
Triângulo de Sierpinski - 3
Triângulo de Sierpinski - 4
Triângulo de Sierpinski - 5
Tapete de Sierpinski - 1
Tapete de Sierpinski - 2
Tapete de Sierpinski - 3
Tapete de Sierpinski - 4
1900
Poincaré (1854-1912), que foi provavelmente o primeiro a compreender e expor a noção de Caos, bem como um sem número de outros Homens da Ciência que estabeleceram os princípios que estariam na base da descoberta dos fractais.
Henri Poincaré
1900
Trabalhos sobre previsão meteorológica e turbulência de Lewis Richardson (1881-1953) aproximam-se surpreendentemente do conceito de Geometria Fractal.
Lewis Richardson
1904
Em 1904, Helge von Koch (1870-1924) exibe uma curva que oculta uma propriedade surpreendente: O perímetro infinito delimita uma área finita. Chama-se "A curva ou o copo de neve de Koch". Este fractal data de 1904, quando foi criado por Helge Von Koch. É gerado por uma sucessão infinita de adições de segmentos de uma reta a um segmento inicial, o qual faz com que ao final, diferente do conjunto de Cantor, obtenhamos uma curva.
Curva de Koch - 1
Curva de Koch - 2
Curva de Koch - 3
Curva de Koch - 4
Curva de Koch - 5
Curva de Koch - 6
1911
Fabian Helge Von Koch inicia sua carreira de professor na Universidade de Estocolmo.
1918
Em 1918, Gaston Julia e Pierre Fatou (1878-1929) apresentaram um trabalho ("Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles") com 199 páginas sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como conjuntos de Julia.
Pierre Fatou
Conjunto de Julia
1918
Como precedente à dimensão fractal nos encontramos com a dimensão definida por Félix Hausdorff em 1918/1919, aperfeiçoada mais tarde por Besicovitch. A dimensão Hausdorff (1868-1942) H(X) de um objeto fractal X mede o número de conjuntos de longitude L que faltam para cobrir X por L.
Félix Hausdorff
1921
Karl Menger (1902-1985) apresenta a "Esponja de Menger" ao explorar conceitos de dimensão topológica.
Karl Menger
Esponja de Menger - 1
Esponja de Menger - 2
1924
Fabian Helge Von Koch morre em 11 de março de 1924 na cidade onde nasceu. Benoit Mandelbrot nasce em Varsóvia, em 20 de novembro de 1924, numa família de judeus lituanos; o pai era vendedor de roupas e a mãe dentista.
Benoit Mandelbrot
1936
Em 1936 a família de Benoit Mandelbrot mudou-se para Paris onde seu tio Szolem Mandelbrot, que era professor de matemática no Collège de France e sucessor de Hadamardost neste cargo, toma a responsabilidade de sua educação.
1938
Paul Pierre Levy (1886-1971) descreve sobre a propriedade de auto similaridade de algumas curvas, denominada "Curva de Levy".
1952
Em 1952, Mandelbrot obteve o seu doutoramento na Universidade de Paris. A sua tese de doutoramento agregou idéias de termodinâmica, da cibernética de Norbert Wiener (1894-1964) e da "Teoria dos Jogos" de John von Neumann (1903-1957). Mais tarde Mandelbrot disse que a tese estava pobremente escrita e mal organizada, mas que refletia o seu esforço continuado para juntar os novos caminhos do mundo matemático e da física.
Norbert Wiener
John von Neumann
1953
Entre 1953 e 1954, Mandelbrot, como muitos dos "refugiados matemáticos", foi para o Instituto de Estudos Avançados em Princeton, onde continuou a explorar campos muito diferentes da Matemática.
1955
Em 1955, voltou para França e casou com Aliete Kagan. O trabalho que agregaria todos os interesses de Mandelbrot começou em 1958 quando ele aceitou uma posição no Departamento de Investigação da "International Business Machines" (IBM).
1960
Na década de sessenta Oleksandr Sharkovsky (1936-), verificou com a ajuda do computador, que iterando funções simples, como funções quadráticas por exemplo, se obtinham objetos com propriedades insólitas e ordens muito estranhas, tal como as formas idealizadas antes por Cantor, Peano, von Koch e Julia. Assim, o desenvolvimento das tecnologias da informação e do computador incentivaram a análise e discussão destes objetos, já que tornaram possível a reprodução com maior detalhe do comportamento de funções iterativas.
Oleksandr Sharkovsky
1963
Um grande avanço ocorreu em 1963 com Edward Lorenz (1917-2008), que através de um cálculo numérico, definiu o conceito de "Atrator Estranho". Em 1971, David Ruelle (1935-) e Floris Takens (1940-2010) desenvolveram um formalismo matemático rigoroso para os atratores estranhos. O conceito de atrator estranho permitiu uma melhor compreensão dos comportamentos irregulares, tipo turbulentos ou caóticos, descritos por equações determinísticas. Iniciou-se, assim, o estudo do que chamamos hoje de "Caos Determinístico". Desde então, uma nova ciência (física) se desenvolveu, a qual é chamada de não-linear, ou turbulenta, ou caótica.
Edward Lorenz
David Ruelle
1967
Mandelbrot publica seu artigo sobre a topologia da costa da Grã-Bretanha iniciando um novo capítulo sobre a Geometria Fractal.
1969
Em 21 de outubro de 1969 falece Waclaw Sierpinski.
1970
Na década de 70, James Yorke (1941-) viria a encontrar nos trabalhos de Lorenz a chave para os problemas sobre os quais se debruçava, dando ao Caos o seu nome e juntamente com outros, como May ou Hoppensteadt, divulgaria esta nova Ciência acabada de criar.
James Yorke
1978
Falece em 19 de março de 1978 em Paris, França, Gaston Maurice Julia.
1979
Em 1979, Mandelbrot descobriu que podia criar uma imagem num plano complexo que poderia servir como um catálogo dos conjuntos de Julia, um guia para qualquer um deles.
1985
Em 1985 Mandelbrot foi reconhecido com o premio "Barnard Medal for Meritorious Service to Science". E nos anos seguintes recebe a "Franklin Medal".
1987
Em 1987 foi reconhecido com o prêmio "Alexander von Humboldt"; também recebeu a "Medalha Steindal"
1988
Em 1988 muitos outros prêmios, incluindo a "Medalha Nevada" em 1991.
1988
São muitas as definições de Fractal. Segundo Jens Feder (1939-2019), "um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos".
1993
Uma das áreas em que o computador tem sido muito utilizado é a teoria de números, domínio que estuda as propriedades do conjunto dos números inteiros. Nesta área da Matemática merecem particular atenção, por exemplo, as propriedades de números primos, de classes de congruência, as soluções inteiras de equações de coeficientes inteiros, etc. A teoria de números é um dos domínios considerados mais difíceis da Matemática, sendo um dos seus teoremas mais conhecidos a célebre afirmação enunciada mas não demonstrada por Fermat: "Não existe um termo de números naturais (x, y, z) que verifique a equação xn + yn = zn, para n > 2". Em 23 de Junho de 1993 foi anunciada uma demonstração para este teorema pelo matemático inglês Andrew Wiles. Verificou-se que esta demonstração continha alguns erros, mas, depois de corrigida, ela é hoje, em 1996, considerada correta pela generalidade dos matemáticos.
2010
Benoit Mandelbrot morre em 14 de outubro de 2010, em Cambridge, Massachusetts, Estados Unidos.
REFERÊNCIAS (de fragmentos encontrados na internet):
01 - Natureza – Caos ou Ordem? - Fundamentos e Ensino da Álgebra-2004-2005 - UNIVERSIDADE DE COIMBRA - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Departamento de Matemática - Ana Batanete, Andreia Castro e Hirllany Lago.
02 - Fractales Y Solución en Algunos Problemas de Matematicas Empleado en Cabri Geometre - Universidad del Tolima - Facultad de Educacion - Lic. Matematicas - 2005 - Edgar Alexander Rodriguez Guzman, Julio Cesar Gomez Herrera e Robinson Alfonso Cardona.
03 - Geometria Fractal e Atividades para o Ensino de Matemática: Degraus Fractais e Esponja de Menger - Universidade Federal da Bahia - UFBA - Instituto de Matemática e Estatística – IME - Setembro de 2020 - Marcus Vinícius Oliveira Lopes da Silva - Dissertação de Mestrado.
04 - Geometria Fractal: Uma Sequência Didática para a Educação Básica - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia - Valença - BA 2019 - Maria do
Amparo Cruz da Conceição - Monografia.
05 - Estudo e Aplicações da Geometria Fractal - Universidade Federal da Paraíba - João Pessoa - PB - Abril/2013 - Yara Sílvia Freire Rabay.
06 - Os Fractais e Aplicações em Sala de Aula - UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu - Patrícia Sândalo Pereira, Renata Camacho Bezerra, Paloma Rhayka Rosa e Katiani Pereira da Conceição.
07 - Universidade Estadual de Londrina - Departamento de Matemática – CCE - Notas de Aula da Disciplina Especial - Sistemas Dinâmicos e o Caos Determinístico - Prof. Paulo Laerte Natti.
08 - Capítulo 3 do livro Ponte, J. P., & Canavarro, P. (1997). Matemática e novas tecnologias. Lisboa: Universidade Aberta.
09 - Geometria Fractal - Fundamentos e Ensino da Álgebra - 2002-2003 - UNIVERSIDADE DE COIMBRA - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Departamento de Matemática - Autoria: NN.
